Question

大学数学线性代数与解析几何

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Answer 1

必要性：已知A,B,C,D共面，则存在不全为0的λ1,λ2,λ3,λ4，使λ1*OA+λ2*OB+λ3*OC+λ4*OD=0，且λ1+λ2+λ3+λ4=0。
不妨设λ4不等于0。则设OD=x1*OA+x2*OB+x3*OC，x1+x2+x3=1。
于是(OB,OC,OD)=(OB,OC,x1*OA+x2*OB+x3*OC)=x1*(OB,OC,OA)+x2*(OB,OC,OB)+x3*(OB,OC,OC)=x1*(OB,OC,OA)=x1*(OA,OB,OC)
同理(OC,OD,OA)=-x2*(OA,OB,OC)，(OD,OA,OB)=x3*(OA,OB,OC)
于是(OA,OB,OC)-(OB,OC,OD)+(OC,OD,OA)-(OD,OA,OB)=(1-x1-x2-x3)*(OA,OB,OC)=0

充分性：三维欧式空间中的四个向量OA,OB,OC,OD必然线性相关，不妨设OD=x1*OA+x2*OB+x3*OC。
于是0=(OA,OB,OC)-(OB,OC,OD)+(OC,OD,OA)-(OD,OA,OB)=(1-x1-x2-x3)*(OA,OB,OC)
若(OA,OB,OC)=0，则O,A,B,C共面，而OD=x1*OA+x2*OB+x3*OC，所以O,A,B,C,D共面。
若1-x1-x2-x3=0，联立OD=x1*OA+x2*OB+x3*OC可以消去点O，于是A,B,C,D共面。

Answer 2

设
a=矢量OA
b=矢量OB
c=矢量OC
d=矢量OD
空间4点A、B、C、D共面当且仅当
(b-a)×(c-a)﹒(d-a)=0
展开左边
(b×c-b×a-a×c)﹒(d-a)=0
b×c﹒d-b×a﹒d-a×c﹒d-b×c﹒a=0
(b,c,d)-(b,a,d)-(a,c,d)-(b,c,a)=0
调整顺序
(b,c,d)+(d,a,b)-(c,d,a)-(a,b,c)=0
-(a,b,c)+(b,c,d)-(c,d,a)+(d,a,b)=0
(a,b,c)-(b,c,d)+(c,d,a)-(d,a,b)=0

追问

为什么(b-a)×(c-a)﹒(d-a)=0？

追答

b-a就是矢量AB
c-a就是矢量AC
d-a就是矢量AD
(b-a)×(c-a)就是矢量AB和矢量AC所确定的平面的法方向
(b-a)×(c-a)﹒(d-a)=0就表示矢量AD⊥平面法方向
明白了吗