Question

大学物理，相互垂直的谐振动的合成，这个推到过程怎么算的，解答后追加20分，谢谢了，

Answer 1

这个用和差化积公式就行了
x/A1 + y/A2 = cos(wt + φ1) + cos(wt - φ2) = 2coswtcos(φ1 - φ2)
x/A1 - y/A2 = cos(wt + φ1) - cos(wt - φ2) = -2sinwtsin(φ1 - φ2)
故coswt = (x/A1 + y/A2)/2cos((φ1 - φ2)/2)
sinwt = (x/A1 - y/A2)/2sin((φ1 - φ2)/2)
为了少写点，
设(x/A1 + y/A2) = A
x/A1 - y/A2 = B
平方相加消去wt得
则 1 = A²/4cos²((φ1 - φ2)/2) + B²/4sin²((φ1 - φ2)/2)
通分
1 = （A²sin²((φ1 - φ2)/2) + B²4cos²((φ1 - φ2)/2)）/4sin²((φ1 - φ2)/2)cos²((φ1 - φ2)/2)
分母用积化和差
sin((φ1 - φ2)/2)cos((φ1 - φ2)/2) = 1/2 * sin(φ1 - φ2)cos0 = 1/2 * sin(φ1 - φ2)
故分母化为sin²(φ1 - φ2)
即sin²(φ1 - φ2) = A²sin²((φ1 - φ2)/2) + B²4cos²((φ1 - φ2)/2

现在把A和B代换回去
sin²(φ1 - φ2) = (x²/A1² + 2xy/A1A2 + y²/A2²)sin²((φ1 - φ2)/2) +(x²/A1² - 2xy/A1A2 + y²/A2²)cos²((φ1 - φ2)/2)
注意x²/A1² 和y²/A2² 的系数和都是sin²+cos²
所以x²/A1² +y²/A2² - 2xy/A1A2 (-sin²((φ1 - φ2)/2) + cos²((φ1 - φ2)/2)) = sin²(φ1 - φ2)
而2xy项正好是cos二倍角的公式，所以推导完毕。

追问

谢谢啦