如图,△ABC中,D、E是BC的三等分点,BF是中线,交AD、AE于G、H,则BG:GH:HF=
一道初中数学竞赛题,如图,△ABC中,D、E是BC的三等分点,BF是中线,交AD、AE于G、H,则BG:GH:HF=...
一道初中数学竞赛题,如图,△ABC中,D、E是BC的三等分点,BF是中线,交AD、AE于G、H,则BG:GH:HF=
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过F作FN//BC,交AE于M,AD于N,
∵F是AC的中点,
∴MF是三角形AEC的中位线,
∴MF=CE/2,
CE=2MF,
∵BD=DE=CE,
∴BE=2CE=4MF,
∵MF//BE,
很明显,
∴△MFH∽△EBH,
∴HF/BH=MF/BE=1/4,
∵NF是三角形ADC的中位线,
∴NF=CD/2=CE=BD,
∵〈GFN=〈GBD(内错角相等),
〈GNF=〈GDB(内错角相等),
∴△NFG≌△DBG,(ASA),
∴GF=BG,
∵FH/BH=1/4,
∴FH/BF=1/5,
FH=BF/5,
∵BG=BF/2,
GF=BF/2,
∴GH=GF-HF=BF/2-BF/5=3BF/10,
BG:GH:HF=(1/2)BF:(3/10)BF:(1/5)BF
=5:3:2.
∴BG:GH:HF=5:3:2.
∵F是AC的中点,
∴MF是三角形AEC的中位线,
∴MF=CE/2,
CE=2MF,
∵BD=DE=CE,
∴BE=2CE=4MF,
∵MF//BE,
很明显,
∴△MFH∽△EBH,
∴HF/BH=MF/BE=1/4,
∵NF是三角形ADC的中位线,
∴NF=CD/2=CE=BD,
∵〈GFN=〈GBD(内错角相等),
〈GNF=〈GDB(内错角相等),
∴△NFG≌△DBG,(ASA),
∴GF=BG,
∵FH/BH=1/4,
∴FH/BF=1/5,
FH=BF/5,
∵BG=BF/2,
GF=BF/2,
∴GH=GF-HF=BF/2-BF/5=3BF/10,
BG:GH:HF=(1/2)BF:(3/10)BF:(1/5)BF
=5:3:2.
∴BG:GH:HF=5:3:2.
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