Question

2，3题都是求第一象限的区域，高数，极坐标与二重积分

Answer 1

（3）区域是1/4圆。dσ这样取，r到r十dr的圆环在第一象限的部分。x²十y²=r²
dσ=2πrdr/4=（π/2）rdr
积分变成一元函数积分
=∫（0,1）ln（1十r²）（π/2）rdr
=（π/4）∫ln（1十r²）d（1十r²）
设t=1十r²，t=1～2
原式=（π/4）∫（1,2）lntdt
= （π/4）[tlnt（1,2）-∫（1,2）(t/t）dt]
= （π/4）[2ln2-1]

追答

（3）积分区域是1/8个圆环，0～45°
极坐标（r，θ）
arctany/x=θ
dσ=rdθdr
r=1～2,θ=0～π/4
原式=∫（1,2）rdr∫（0,π/4）θdθ
=[r²/2]（1,2）[θ²/2]（0,π/4）
=（2-1/2）（π²/32）
=3π²/64