Question

求做个证明题 要过程 谢谢

Answer 1

证：
构造函数F(x)=f(x)·g²(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导。
F(a)=f(a)·g²(a)=0，F(b)=f(b)·g²(b)=0
F'(x)=f'(x)g²(x)+2g(x)·g'(x)f(x)
由罗尔中值定理得：在(a，b)内，至少存在一点ξ ，使得
F'(ξ )=[F(b)-F(a)]/(b-a)=0
F'(ξ )=f'(ξ)g²(ξ)+2g(ξ)g'(ξ)f(ξ)
f'(ξ)g²(ξ)+2g(ξ)g'(ξ)f(ξ)=0
g(x)≠0，g(ξ)≠0，等式两边同除以g(ξ)
f'(ξ)g(ξ)+2g'(ξ)f(ξ)=0

追问

谢谢了，用柯西能证吗？

追答

本题要证的是f'(ξ)g²(ξ)+2g(ξ)g'(ξ)f(ξ)=0，显然是两函数乘积求导。

柯西中值定理是f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]
在柯西中值定理中，当g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。
因此本题不能直接套用柯西中值定理。就算是非得要用，也要构造函数F(x)，公式中的g(x)与你题目中的g(x)不是一回事。

追问

为什么题目中g(x)与柯西里的不一回事啊

有点不明白