Question

高中数学第14题求解

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Answer 1

14.
y'=2sinx/cos³x-2√2cosx/sin²x
=(2sin³x-2√2cos⁴x)/(sin²xcos³x)
令y'≥0
(2sin³x-2√2cos⁴x)/(sin²xcos³x)≥0
√2sin³x-2(1-sin²x)²≥0
2sin⁴x-√2sin³x-4sin²x+2≤0
2sin⁴x-√2sin³x-4sin²x+2√2sinx-2√2sinx+2≤0
√2sin³x(√2sinx-1)-2√2sinx(√2sinx-1)-2(√2sinx-1)≤0
(√2sinx-1)(sin³x-2sinx-√2)≤0
(√2sinx-1)(sin³x-√2sin²x+√2sin²x-2sinx-√2)≤0
(√2sinx-1)[sinx(sinx+√2)(sinx-√2)-√2]≤0
sinx(sinx+√2)(sinx-√2)-√2恒<0，因此只有√2sinx-1≥0
sinx≥√2/2，x∈(0，π/2)
即函数在(0，π/4)上单调递减，在(π/4，π/2)上单调递增，当x=π/4时，函数取得最小值。
ymin=1/cos²(π/4) +2√2/sin(π/4) +4=2+4+4=10

Answer 2

填入：10
设m=1/sinx,n=1/cosx,其中 x∈(0,π/2)
f(x)=(n-√2)²+(2√2)(m+n)+2
又 (n-√2)²≥0,x=π/4时取"=",
m+n≥2√(mn)=(2√2)/(√sin2x)≥(2√2)
且两处放缩都在x=π/4时取"="
得f(x)≥0²+(2√2)·(2√2)+2=10 且 x=π/4时取"="
所以 f(x)的最小值是10.

希望能帮到你！