Question

圈的数学微积分题怎么做，谢谢

Answer 1

求微分方程的通解：
(1). 2y''+y'-y=(x+2)e^x
解：齐次方程2y''+y'-y=0的特征方程2r²+r-1=(2r-1)(r+1)=0的根r₁=1/2；r₂=-1;
故齐次方程的通解为y=C₁e^(x/2)+C₂e^(-x)；
下面再求一特解：设特解y*=(ax²+bx+c)e^x...........(1)
y*'=(2ax+b)e^x+(ax²+bx+c)e^x=[ax²+(2a+b)x+b+c]e^x；
y*''=(2ax+2a+b)e^x+[ax²+(2a+b)x+b+c]e^x=[ax²+(4a+b)x+2a+2b+c]e^x
代入原方程得：
2[ax²+(4a+b)x+2a+2b+c]e^x+[ax²+(2a+b)x+b+c]e^x-(ax²+bx+c)e^x=(x+2)e^x
2ax²+(10a+2b)x+4a+5b+2c=x+2
故 a=0；10a+2b=2b=1,∴b=1/2；4a+5b+2c=5/2+2c=2，即c=-1/4;

代入(1)式得y*=(x/2-1/4)e^x
∴原方程的通解为 y=C₁e^(x/2)+C₂e^(-x)+(x/2-1/4)e^x.
(2). y''+a²y=e^x
解：齐次方程y''+a²y=0的特征方程 r²+a²=0的根r₁=ai; r₂=-ai；
故齐次方程的通解y=C₁cosax+C₂sinax.
设原方程的特解为y*=(bx+c)e^x
y*'=be^x+(bx+c)e^x=(bx+b+c)e^x

y*''=be^x+(bx+b+c)e^x=(bx+2b+c)e^x
代入原方程得 (bx+2b+c)e^x+a²(bx+c)e^x=[(1+a²)bx+2b+(1+a²)c]e^x=e^x
故b=0，(1+a²)c=1, c=1/(1+a²).
于是得特解y*=[1/(1+a²)]e^x
故原方程的通解为y=C₁cosax+C₂sinax+[1/(1+a²)]e^x
(3). 2y''+3y'=x²-3x+4
解：齐次方程2y''+3y'=0的特征方程2r²+3r=r(2r+3)=0的根 r₁=0; r₂=-3/2.
故齐次方程的通解为 y=C₁+C₂e^(-3x/2)
设其特解为 y*=ax³+bx²+cx
y*'=3ax²+2bx+c
y*''=6ax+2b
代入原式得：2(6ax+2b)+3(3ax²+2bx+c)=x²-3x+4
9ax²+3bx³+(12a+6b)x+4b+3c=x²-3x+4
故9a=1，故a=1/9；12a+6b=4/3+6b=-3，故b=-13/18;
4b+3c=-26/9+3c=4,故c=62/27;
故特解为y*=(1/9)x³-(13/18)x²+(62/27)x.
于是得原方程的通解为 y=C₁+C₂e^(-3x/2)+(1/9)x³-(13/18)x²+(62/27)x.

追问

第一题设的特解y*，为什么括号里是个二次多项式，括号里次数不是该和原式右边括号里次数一样吗？第二题同理为何设为一次项，原式右边不是0吗？第三题代入原式后6ax加2b为何要乘2

追答

第1题和第3题情况是一样的。设特解时，多项式都要
比右边高一次；如果右边有e^x的话，设y*时都要带e^x；
第2题有点特殊：左边缺y'项。不那样设，两边不可能相等。
你自己可以试试。

追问

我都懂了，谢谢老师