Question

如图已知△ABC中,AB=AC=10cm.∠B=∠C,BC=8cm,点D为AB的中点

如图已知△ABC中,AB=AC=10cm.∠B=∠C,BC=8cm,点D为AB的中点，（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的
速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等
，当点Q的运动速度为多少时能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以上的运动速度从点C出发，点P以
原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的
哪条边上相遇？

Answer 1

(一.)
由于Vp≠VQ，所以CQ≠BP。因为△≌必须满足三边分别对应相等故假设;
1.CQ=BD=5,（1）若PC=PB=4 ,PQ=PD,此时显然满足SSS定理△≌，
（2）若PC=PD， PQ=PB,此时有∠CPQ对应∠BPD相等，
又有∠PQD=∠CPQ
∠QDP=∠BPD
所以∠PQD=∠QDP
所以 PD=PQ
所以PC=PB=4

2. CQ=PD （1）若PC=PB=4，PQ==BD=5有AP⊥BC，PD=CQ=1/2AB=5
所以此种情况与1一致
（2）若PC=BD=5，有PB=8-5=3=PQ,此时有∠CPQ与∠B对应相等
因为∠B=∠C
所以∠CPQ=∠C
所以PQ=CQ=BP=3
此与CQ≠BP矛盾
总之，P点在B→C以及Q点由C→A过程中会出现两次△≌，
其边长为3，3，5 和5，5，4。鉴于P,Q点速度不等，只能取5，5，4（即P,Q均处于中点位置时）。运动时间为4/3S。VQ=15/4

(二.)

P,Q第一次相遇即两者经过的距离相等。Vp=3;VQ=15/4,开始运动时两者相距8CM，所以有VQ*t=8+Vp*t.

求得t=32/3,

此时点Q运动的距离（距C的距离）为(32/3)*(15/4)=40CM,

所以相遇点应该在AB上（距A点2CM处，此时点Q已经绕△ABC转过了一周）

Answer 2

① 是。理由如下： ②当△BPD≌△CQP时，BP=CP

依题意得1秒后，BP=CQ=3 ∴3t+3t=8 t=0.75

∴CP=BC-BP=8-3=5 2 ∵ 点Q以②中的运动速度从点C出发

∵D为AB的中点 ∴CQ=BD=5

∴BD=1/2AB=1/2*10=5 ∴Q的速度为5/ 0.75=3.75

∴CP=BD 由已知得P与点Q第一次相遇不在BC上

∵AB=AC 设经过t后两点相遇。则

∴∠B＝∠C .........（省略讨论)3.75t-20=3t

又∵BP=CQ,BD=CP

∴△BPD≌△CQP

Answer 3

(一.)
由于Vp≠VQ，所以CQ≠BP。因为△≌必须满足三边分别对应相等故假设;
1.CQ=BD=5,（1）若PC=PB=4
,PQ=PD,此时显然满足SSS定理△≌，
（2）若PC=PD，
PQ=PB,此时有∠CPQ对应∠BPD相等，
又有∠PQD=∠CPQ
∠QDP=∠BPD
所以∠PQD=∠QDP
所以
PD=PQ
所以PC=PB=4
2.
CQ=PD
（1）若PC=PB=4，PQ==BD=5有AP⊥BC，PD=CQ=1/2AB=5
所以此种情况与1一致
（2）若PC=BD=5，有PB=8-5=3=PQ,此时有∠CPQ与∠B对应相等
因为∠B=∠C
所以∠CPQ=∠C
所以PQ=CQ=BP=3
此与CQ≠BP矛盾
总之，P点在B→C以及Q点由C→A过程中会出现两次△≌，
其边长为3，3，5
和5，5，4。鉴于P,Q点速度不等，只能取5，5，4（即P,Q均处于中点位置时）。运动时间为4/3S。VQ=15/4
(二.)
P,Q第一次相遇即两者经过的距离相等。Vp=3;VQ=15/4,开始运动时两者相距8CM，所以有VQ*t=8+Vp*t.
求得t=32/3,
此时点Q运动的距离（距C的距离）为(32/3)*(15/4)=40CM,
所以相遇点应该在AB上（距A点2CM处，此时点Q已经绕△ABC转过了一周）