求解高等代数题 50
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第（3）题
因为r(A|b) >= r(A)
而当r(A|b)>r(A)时桐慎，显然非齐次方程组Ax=b无解，此时命题显然成立。
下面只考虑r(A|b)=r(A)=r<n的情况
此时非齐次方程组Ax=b的通解是
a+C1x1+C2x2+...+Cn-r x n-r
其中a是特解，Ci是常数。
而向量组a,x1,x2,...,xn-r中n-r+1个向量线性无关（否则，Ax=b通解中枝戚有零解，而这是不可能的局搭敬，因为b不等于0，得出矛盾！）。
则向量组a,x1,x2,...,xn-r，是一个极大无关组，构成方程组Ax=b的解空间中的一组基，
解空间维数是n-r+1（即向量组的秩）。
因而解空间中，线性无关的解最多只有n-r+1个
因为r(A|b) >= r(A)
而当r(A|b)>r(A)时桐慎，显然非齐次方程组Ax=b无解，此时命题显然成立。
下面只考虑r(A|b)=r(A)=r<n的情况
此时非齐次方程组Ax=b的通解是
a+C1x1+C2x2+...+Cn-r x n-r
其中a是特解，Ci是常数。
而向量组a,x1,x2,...,xn-r中n-r+1个向量线性无关（否则，Ax=b通解中枝戚有零解，而这是不可能的局搭敬，因为b不等于0，得出矛盾！）。
则向量组a,x1,x2,...,xn-r，是一个极大无关组，构成方程组Ax=b的解空间中的一组基，
解空间维数是n-r+1（即向量组的秩）。
因而解空间中，线性无关的解最多只有n-r+1个
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