Question

中考有关正方形证明题

已知：正方形ABCD，三角形BEF为等腰直角三角形，EF=EB，角FEB=90度，连接DF,G为DF中点。
求证：GE=GC且GE垂直于GC
请高手指教，希望有清晰的证明过程，多谢！

Answer 1

做辅助线如图，连接BD，过G左GK垂直于DF，在GK上取一点H使得GH=GF；连接DH交BC于J，连接CH，延长BF交GE于I，只要证明△GEF≌△GCH，就能证明GE=GC且相互垂直。

证明：

∠EFG=∠EFI+∠IFG=135°+∠FDB +∠FBD

∠GHC=∠GHJ+∠JHC=135°+∠HDC+∠HCD

因为GF=GD=GH，所以△DFH为直角等腰△，所以∠FDB=∠HDC=45°-∠BDJ；DF/DH=DB/DC=√2

根据两边夹角，所以△DHC∽△DFB；

所以∠FDB +∠FBD=∠HDC+∠HCD，

BF/CH=√2=EF/CH得出BF=EF；

在△GEF，△GCH中GF=GH，BF=EF，∠EFG=∠GHC

根据两边夹角△GEF≌△GCH——》》》》》》》》》GE=GC，∠EGF=∠CGH；

因为∠FGH=90°——》》》》》》》》》》∠EGC=90° 

总觉得很复杂，不知道有没有简单的方法

Answer 2

(1)
因为abcd和befg是正方形
所以角abc=角ebg=90度,ab=bc,be=bg
所以角abe=角cbg
所以三角形abe全等三角形cbg
所以ae=cg
(2)因为角deh+角aeb=90度,角aeb+角abe=90度
所以角deh=角abe
tan角abe=ae/ab=x/1=x
tan角deh=dh/de=y/(1-x)
所以x=y/(1-x)
y=x-x^2=1/4-(x-1/2)^2
所以当x=1/2时,y有最大值,为1/4
(3)若设ae=x，dh=y
y=x(1-x)
△beh∽△bae
所以be/ab=eh/ae
be^2/ab^2=eh^2/ae^2
(ae^2+ab^2)/ab^2=(de^2+dh^2)/ae^2
(x^2+1^2)/1^2=[(1-x)^2+(y^2)]/x^2
x^4+x^3-x^2+2x-1=0