Question

急求！！！高数题 L是顺时针方向的椭圆曲线x^2+9y^2=1,则积分∫L-2ydx+x^2dy=

用格林公式后是∫∫D（2x+2）dxdy,是用极坐标做还是直接代入曲线呢？

Answer 1

注意： 用格林公式后是 I = -∫∫<D>(2x+2)dxdy
引入广义极坐标 x = rcost, y = (1/3)rsint,
则 I = -∫<0, 2π>dt∫<0, 1>2( rcost+1)(1/3)rdr
= -(2/3)∫<0, 2π>dt∫<0, 1>( rcost+1)rdr
= -(2/3)∫<0, 2π>dt[(1/3)r^3cost+r^2/2]<0,1>
= -(2/3)∫<0, 2π>[(1/3)cosr+1/2]dt
= -(2/3)[(1/3)sint +t/2]<0, 2π> = -2π/3

Answer 2

此题要用“广义极坐标”来计算（令x=rcost, y=(1/3)rsint ），超出了现行的高等数学教学大纲。你可以看一下任何版本的数学专业《数学分析》下册里“二重积分的变量替换”一节的内容。