Question

高等数学，请问图中的题怎么理解？(为何被积函数不是z而是根号下z+1/2)

Answer 1

答：2/15*(1+6√3)π

过程中没有√(z+1/2)这项

首先仍在曲面积分的形式时，可把被积函数的z换成抛物面方程(x²+y²)/2

把z消除后，将曲面积分转为二重积分，计算dS=√(1+(z'x)²+(z'y)²) dxdy

最后用极坐标换元化简二重积分就可以了

对r的积分那里，可用换元u=√(1+r²)最快捷的

当然不嫌麻烦的话也可以用三角函数换元，即令r=tan(θ)

最后代入积分上下限那里也谨慎一点就可以了

过程如图所示：

Answer 2

S = ∫∫ u(x,y,z)sqrt(1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2)dxdy = ∫∫ 1/2 (x^2+y^2) sqrt(1+x^2+y^2)dxdy =∫∫ 1/2 r^2 sqrt(1+r^2)r^2sinθdrdθ =pi ∫[0,sqrt(2)] r^4 sqrt(1+r^2) dr =...这个积分把r换成tanψ计算