Question

线性代数的这道题目（图中第八题）怎么解？证明向量组线性无关一般有什么套路吗？

Answer 1

一般是转化为齐次线性方程组有没有非零解，这样就是矩阵的秩有关了。向量组a1,a2.....am线性无关<=>方程组(a1,a2,...,am)x=0只有零解<=>R(a1,a2,...,am)＝m。

本题，是两个向量组的线性相关性之间的关系。
矩阵(a1+a2,a2+a3,a3+a1)=(a1,a2,a3)C，其中C＝
1 0 1
1 1 0
0 1 1
|C|=2，C可逆，所以R(a1+a2,a2+a3,a3+a1)=R(a1,a2,a3)。

若a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关，则R(a1+a2,a2+a3,a3+a1)=3，所以R(a1,a2,a3)=3，a1,a2,a3线性无关。

若a1,a2,a3线性无关，则R(a1,a2,a3)=3，所以R(a1+a2,a2+a3,a3+a1)=3，a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关。

追问

我问的是第八题😂……

追答

哦，用定义。