线性代数，已知a1，a2.an线性无关，则a1+a2，a2+a3.an-1+an必线性无关吗
1个回答
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一定线性无关，这根据定义可以求出来
假定系数c1,c2,...,c(n-1)使得
c1(a1+a2)+c2(a2+a3)+...+c(n-1)(a(n-1)+a(n))=0
重组一下得到
c1 a1 + (c1+c2)a2 +(c2+c3)a3+...+(c(n-2)+c(n-1))a(n-1)+c(n-1)a(n)=0
根据a1,a2,...,an线性无关可以得到
c(n-1)=c(n-2)+c(n-1)=...=c1+c2=c1=0
很容易得到所有的系数都为0，根据线性无关定义得证
假定系数c1,c2,...,c(n-1)使得
c1(a1+a2)+c2(a2+a3)+...+c(n-1)(a(n-1)+a(n))=0
重组一下得到
c1 a1 + (c1+c2)a2 +(c2+c3)a3+...+(c(n-2)+c(n-1))a(n-1)+c(n-1)a(n)=0
根据a1,a2,...,an线性无关可以得到
c(n-1)=c(n-2)+c(n-1)=...=c1+c2=c1=0
很容易得到所有的系数都为0，根据线性无关定义得证
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