Question

用MATLAB解微分方程，答案看不懂

使用MATLAB解微分方程得到以下解：
Int(-1/(-m*_a^2+2*n*log(_a)+C1)^(1/2),_a = .. y)-x-C2=0

看不懂，谁明白给解释一下。
原方程是D2y+m*y=n/y(m,n是参数)
哪位高人接出来万分感谢！

Answer 1

不一定有解析解啊，最好能给出m和n的数值，以及边界条件。

用降阶法，令dy/du＝x，
则二阶微分d2y/du2=dx/du=dx/dy*dy/du=x*dx/dy
D2y+m*y=n/y可以化为
x*dx/dy+m*y=n/y

>> x=dsolve('x*Dx+m*t=n/t')
注意：按照matlab的规定，自变量为t，所以上式的y用t来替换。
解得：
x =
[ (-m*t^2+2*n*log(t)+C1)^(1/2)]
[ -(-m*t^2+2*n*log(t)+C1)^(1/2)]

即：
x =
[ (-m*y^2+2*n*log(y)+C1)^(1/2)]
[ -(-m*y^2+2*n*log(y)+C1)^(1/2)]

其实用手工的方法，将x*dx/dy+m*y=n/y进行变量分离，也可积分求得：
x^2=2*n*ln(y)-m*y^2+C1 与x=dsolve('x*Dx+m*t=n/t')解得的结果相同。

即(Dy)^2＝2*n*ln(y)-m*y^2+C1

>>y＝ dsolve('(Dy)^2= (-m*y^2+2*n*log(y)+C1)')
Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned.
> In D:\MATLAB6P5\toolbox\symbolic\dsolve.m at line 292

ans =

[ y=exp(-1/2*(n*lambertw(-m/n*exp(-C1/n))+C1)/n), t+Int(1/(-m*a^2+2*n*log(a)+C1)^(1/2),a=``..y)-C1=0, t-Int(1/(-m*a^2+2*n*log(a)+C1)^(1/2),a=``..y)-C1=0]

看来，就是没有解析解，还是想办法给出m、n以及边界条件吧。