Question

验证函数f(x)=ln(1+x)的n阶麦克劳林公式

验证函数f(x)=ln(1+x)的n阶麦克劳林公式

Answer 1

你题目貌似不太全 所以我就百度了一个 不知是不是你要的那个证明x/1+x＜ln(1+x)＜x(x大于0） 验证函数f(x)=ln(1+x)的n阶麦克劳林公式先看右边：
两相除，再同时去以e为底指数，之后对e^x作麦克劳琳展开
ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+....)<1
所以ln(1+x)<x,
在看左边：
在x=0时x/(1+x)=ln(1+x)=0;
当x>0时
对x/(1+x)和ln(1+x)分别求导数，
[1/(1+x)]'=[(1+x)-x/(1+x)^2]=1/[(1+x)^2]
[ln(1+x)]'=[1/(1+x)]
两导数作比：[1/(1+x)]'/[ln(1+x)]'=1/[(1+x)^2]/[1/(1+x)]=1/(1+x)<1
所以，在x>0时，x/(1+x)的增长速度小于ln(1+x)，而在x=0出两者相等。
所以 x/(1+x)<ln(1+x)

Answer 2

f′（x）＝（1+x）负一次方
f″（x）＝－（1+x）负二次方
……
f（n）（x）＝（-1）n－1次方（1+x）－n次方
当x0＝0时
则有f（0）＝0 f′（0）＝1 f″（0）＝-1
f″′（0）＝1……
f（x）＝ln（1+x）＝x-x²/2!+x³/3!-...+（-1）n-1次方×（x的n次方/n!）+（-1）n次方×（x的n+1次方/n+1!）

Answer 3

ln(1+x)=∑[(-1)^n]x^(n+1)/n+1
ln(1+x^2)=∑[(-1)^n]x^2(n+1)/n+1
ln(1+x^2)/x=∑[-1)^n]x^(2n+1)/n+1

Answer 4

楼上答案错了吧