Question

y=ax+b/x的极值和图像

Answer 1

y=f(x)=ax + b/x (为研究方便通常规定a,b>0)

是一种双曲函数，常称对勾函数。

可以通过多种方法求最值，约定用√(x)表示根号下x，

以下除非特殊说明，均以x>0的情况讨论

①基本不等式：a+b≥2√(ab), a>0且b>0,其中当且仅当a=b时取等号

   那么对于函数f(x)=ax+ b/x

则有f(x)≥√(ax · b/x)=2√(ab)

这里不等号当且仅当ax=b/x，即x=√(b/a)时取到等号

因其定义域通常为(-∞,0)∪(0,+∞)，需要分开单调区间讨论最值

即：x>0时f(x)有最小值f[min]=f(√(b/a))=2√(ab)

       x<0时f(x)有最大值f[max]=f(√(b/a))=-2√(ab)

②导数

同样以x>0的情况讨论

对f(x)=ax+ b/x （a,b>0）求导

f'(x)=a-(b/x²),

导函数值为0时取得最值，令f'(x)=0

易求x=√(b/a),这里的情况是x>0

所以代回f(x)求得最大值f(x)=2√(ab)

③转换

方便起见研究f(x)=x+1/x,其余类推即可

令x=tanα, α∈(0,π/2),则1/x=cotα

x+ 1/x =tanα+cotα=2/sin(2α)

∵2α∈(0,π)

∴2α=π/2时，sin(2α)有最大值为1，此时x=1

f[max]=2