Question

已知正项数列（an）的前n项和Sn满足2×根号Sn=an+1。求证（an）是等差数列，并求an

Answer 1

数列是正项数列，则an>0，Sn>0
2√Sn=an+1
4Sn=(an+1)²
n=1时，4a1=4S1=(a1+1)²
(a1-1)²=0
a1=1
n≥2时，4an=4Sn-4S(n-1)=(an+1)²-[a(n-1)+1]²
an²-a(n-1)²-2an-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
数列是正项数列，an+a(n-1)恒>0，因此只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2，为定值
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列
an=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2n-1

Answer 2

2√Sn=an+1
√Sn=(an+1)/2
Sn=(an+1)²/4
Sn-1=(a(n-1)+1)²/4
4an=an²-a(n-1)²+2(an-a(n-1))
an²-a(n-1)²=2(an+a(n-1))
an-a(n-1)=2
当n=1时，2√a1=a1+1 得a1=1
{an}是首项为1，公差为2的等差数列
an=a1+(n-1)2=2n-1