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若函数在闭区间上连续,则其一定一致连续。
连续函数是指函数y=f(x)当自变量x的变化很小时,所引起的因变量y的变化也很小。例如,气温随时间变化,只要时间变化很小,气温的变化也是很小的;又如,自由落体的位移随时间变化,只要时间变化足够短,位移的变化也是很小的。
对于这种现象,因变量关于自变量是连续变化的,连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知,一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
所谓有界是指,存在一个正数M,使得对于任意x∈[a,b],都有|f(x)|≤M。
证明:利用致密性定理:有界的数列必有收敛子数列。
反证法,假设f(x)在[a,b]上无上界,则对任意正数M,都存在一个x'∈[a,b],使f(x')>M。
特别地,对于任意正整数n,都存在一个xn∈[a,b],使f(xn)>n。
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