Question

若函数在闭区间上连续 则其一定一致连续

若函数在闭区间上连续 则其一定一致连续大神能证明一下吗

Answer 1

若函数在闭区间上连续，则其一定一致连续。

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。

对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。

反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。

特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。

Answer 2

这是数学分析最基本的问题，也叫Cantor定理，一般好的数学分析教材上面都有证明。如图所示