Question

不定积分问题

Answer 1

这里提供以下思路：

因为Pn(x)是多个单项式的和，所以积分可以逐项进行，从而把问题转化为

其中n是自然数。

再者，根据欧拉公式：

其中i是虚数单位。那么后面两个积分都可以转化为第一个积分的形式进行求解。

因此只要求出第一个积分的结果就行。

接下来再次对第一个积分进行化简。

因为

所以只要求积分

利用分部积分：

把n看作主变量，那么上式就是关于n的线性非齐次常差分方程，其中初始值为

原来的线性非齐次差分方程对应的齐次方程为：

因此

齐次方程的通解为

其中J是任意常数

接下来通过常数变易法求原来的非齐次方程的通解：设

那么

其中n≥1.

根据以上I0的结果，可以得到J0=e^t，所以

因此