Question

高等数学，第六题，答案选C，说明为什么B错误即可，帮帮忙

Answer 1

估计是这个缘故吧。
C是对的。
一般我们会觉得C正确的话，那么B当然也就正确了。
但是有一点需要注意，C的正确性，无需f（x）和g（x）可导。
但是f'（x）=g'（x）必须要求f（x）和g（x）可导。
但是题目没说f（x）和g（x）可导。
所以B不一定成立。

追问

但是f(x)和g(x)不可导的话C也不正确吧

不可导题目等式不就也错了吗

追答

没错啊、注意看看，式子是∫df（x）=∫dg（x）
f（x）和g（x）在d的后面
而不是∫f'（x）dx=∫g'（x）dx
在f（x）和g（x）都是可导函数的情况下
∫df（x）=∫f'（x）dx
∫dg（x）=∫g'（x）dx
但是如果f（x）和g（x）不可导，那么
∫df（x）和∫dg（x）仍然有意义
但是∫f'（x）dx和∫g'（x）dx就不存在了。
这是有区别的。
例如f（x）=2|x|，g=2|x|+2
那么f（x）和g（x）在x=0点处不可导。
所以∫f'（x）dx和∫g'（x）dx在x=0点处是无定义的。
但是∫df（x）=-x²+c（x＜0）；x²+c（x≥0）（c是任意常数）
∫dg（x）也是等于-x²+c（x＜0）；x²+c（x≥0）（c是任意常数）
在x=0点处都有意义。

追问

这样解释可以吧！谢谢你

但是题目有df(x)和dg(x)，这说明函数是可微的，可微一定可导

可以解释一下吗，谢谢你

追答

df（x）要求出来，那么当然就是可微的。现在∫df（x）中，无需把df（x）求出来啊。用换元法，令t=f（x），那么∫df（x）=∫dt=t+c=f（x）+c
整个过程中，无需对df（x）进行计算，不需要f（x）可导。事实上我举得f（x）=|x|的例子，也说明了，其原函数已经找到了。不能因为|x|在x=0点不可导，就说|x|的原函数在x=0点无定义。

追问

好，谢谢