Question

求极限过程

详细详细详细

Answer 1

令x+1=t

mj x->-1时,t->0

Answer 2

如果这个式子的极限存在的话，就可以直接分开求出来
这种方法通常是乘除关系才可以用，加减关系的话看情况

例如lim(x→0) cosx存在，可先求出来: lim(x→0) cosx = cos(0) = 1
lim(x→0) ln(1+x)/tanx
= lim(x→0) ln(1+x)/(sinx/cosx)
= lim(x→0) ln(1+x)/sinx * cosx
= lim(x→0) ln(1+x)/sinx * lim(x→0) cosx
= lim(x→0) ln(1+x)/sinx * 1

但是lim(x→0) (sinx-xcosx)/x³不能将x=0代入cosx
直接变为lim(x→0) (sinx-x)/x³，这是错误做法
因为xcosx=x-x³/2+..的第一项x已经和sinx=x-x³/6+...的第一项x抵消掉
将xcosx换成x，这样就会像cosx所带来的x³的系数忽略了而导致误差产生
sinx-x=-x³/6+x⁵/120-...
将另外的sinx换成x的话变成x-x=0，这样就更加错误了
而sinx-xcosx=x³/3-x⁵/30+...
可见sinx-xcosx和sinx-x中x³的系数都不同，这就是误差了

但是乘除中的cosx就没有这个问题，cosx=1-x²/2+x⁴/24-...
当x→0时cosx的值趋向第一项的1
sinx=x-x³/6+x⁵/120-...
sinxcosx=x-2x³/3+2x⁵/15-...
当x→0时sinx和sinxcosx都同样趋向x

Answer 3

利用重要极限结论

Answer 4

把X-4提出来。好像是这样。

Answer 5

x→-1时，sin（x+1）与x+1是等价无穷小
∴原极限 = (x→-1）lim 1/(x-4) = 1/(-1-4)= -1/5

追问

x+1在分母上也算等价无穷小吗？

追答

对呀！
分子上有sin(x+1)，分母上有(x+1)
sin（x+1）与x+1是等价无穷小

sin(x+1) / (x+1) 的极限为1

追问

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