Question

为什么这四个线性相关，其中三个无关，另一个可由这三个线性表示

Answer 1

可以证明嘛
设a1；a2；a3；a4这四个向量线性相关
且a1；a2；a3线性无关。
证明a4能用a1；a2；a3线性表示。
证明？
因为a1；a2；a3；a4线性相关，所以必然能找到一组不全为0的系数k1；k2；k3；k4满足
k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0向量
因为a1；a2；a3线性无关，所以k4≠0
因为如果k4=0
则k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=k1a1+k2a2+k3a3+0*a4=k1a1+k2a2+k3a3=0
因为k4=0，所以k1；k2；k3不能全为0，这和a1；a2；a3线性无关矛盾
所以k4≠0
所以k4a4=-（k1a1+k2a2+k3a3）
a4=-（k1a1+k2a2+k3a3）/k4
即a4能用a1；a2；a3线性表示。

追问

k1 k2 k3全为0吗

追答

不在乎k1；k2；k3是否全为0，我只需要证明k4≠0，那么两边就可以同时除以不为0的k4，那么a4的系数就是1了，这样移项就得到了a4用a1；a2；a3线性表示的结果。
整个证明过程中，就是说明k4必须不为0，因为如果k4为0，那么k1；k2；k3至少一个不为0，否则就会出现k1；k2；k3；k4都是0，这就和k1；k2；k3；k4矛盾
而k1；k2；k3至少一个不为0，k4=0这又和a1；a2；a3线性无关矛盾。
在k4≠0的情况下，k1；k2；k3是否有不为0的，就无所谓了。