Question

a>0,b>0,a+b=1,求函数y=(a+1/a)(b+1/b)的最小值,并求出最小值时a,b的值

基本不等式问题

Answer 1

由柯西不等式：
(a+1/a)(b+1/b)>=[√(ab)+1/√(ab)]²={[√(ab)-1/√(ab)]²+4}
又∵√(ab)<=(a+b)/2=1/2,
∴当√(ab)=1/2时取最小值，
所以
(a+1/a)(b+1/b)>=[√(ab)+1/√(ab)]²={[√(ab)-1/√(ab)]²+4}>=25/4
当且仅当两个等号都成立时上式成立，即a=b=1/2

Answer 2

设ab=t<=1/4 y=(a+1/a)(b+1/b)=(t^2-2t+2)/t=t+2/t-2
由单调性:y=(a+1/a)(b+1/b)=(t^2-2t+2)/t=t+2/t-2>=1/4+2/（1/4）-2=25/4
a=b=1/2时取得