Question

高数斯托克斯公式

这道题，当积分面选为椭圆时，答案不是就变了么，请问这个该怎么理解呢？

Answer 1

其实这题的投影面也是个椭圆，不过用一型和二型的积分做法是不同的。

Γ为x²+y²+z²=a²与x+y+z=0的交线

从x正轴往x负轴看过去是逆时针的方向，即正向，取 +

∮_(Γ) y dx + z dy + x dz

= ∫∫_(Σ) rotA * n dS，<-- Stokes公式

= ∫∫_(Σ) - dydz - dzdx - dxdy

= - ∫∫_(Σ) dydz + dzdx + dxdy

取Σ为平面z = - x - y，z'x = z'y = - 1，取上侧

则在xOy面的投影为椭圆区域：x²+y²+(x+y)²=a²

这个椭圆面积很难算，是a²π/√3

= - ∫∫_(D) [ (1)(- z'x) + (1)(- z'y) + 1 ] dxdy

= - ∫∫_(D) [ (1)(1) + (1)(1) + 1 ] dxdy

= - 3∫∫_(D) dxdy

= - 3 * 椭圆D的面积

= - 3 * a²π/√3

= - √3πa²

追答

这是从x正轴看过去的情况