Question

已知a1=3且an=S n-1+2∧n，求an及sn，我的解法哪里错了？

已知a1=3且an=S n-1+2∧n，求an及sn，我的解法哪里错了？图里有详细题目和我的解答，我感觉是最开始的两个式子相减出了问题，可实在想不出问题在哪

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Answer 1

由an=Sn-S(n-1),可得 Sn-2S(n-1)=2^n →Sn/2^n-S(n-1)/2^(n-1)=1 →{Sn/2^n}是以3/2为首项,1为公差的等差数列 →Sn/2^n=(n+2)/2 →Sn=(2n+1)*2(n-1) an=Sn-S(n-1)=(2n+1)*2^(n-1)-(2n-1)*2^(n-2)=(2n+3)*2^(n-2) →a1=3,an=(2n+3)*2^(n-2),n>1 PS:刚才我也用an/2^n算了好久,但是发现a1不满足那个等差数列,也就从a2/2^2才是那个等差数列的第一项,这样难算多了.所以建议先算Sn

追问

答案里第一步an=Sn-S(n-1)，a1也不满足啊，为什么这里可以这么做，我那个做法前两个式子a1都是可以成立的，但是一相减变成第三个式子后a1就不成立了，用的也是an=Sn-S(n-1)这个公式，为什么这里用就不对了？我这种做法为什么不能最后再分情况讨论呢？