Question

高中数学解析几何~求高手解答

设椭圆(x^2/a^2)+(y^2/y^2)=1(a大于b大于0)与双曲线(x^/3)-(y^/1)=1有相同的焦点F1(-c,0),F2(c,0)（c大于0）P为椭圆上一点,三角形PF1F2的最大面积等于2倍根号2,过点N(-3,0)且倾脚为30度的直线交椭圆于、两点
(1)求椭圆的标准方程
(2)求证点F1(-c,0)在以线段AB为直径的圆上
求详细过程~谢谢啦

Answer 1

解：（1）双曲线(x^/3)-(y^/1)=1中
A^2=3,B^2=1,则c^2=4,即c=2

椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
则a^2=b^2+4
设P(m,n)
P为椭圆上一点,则|n|<=b
三角形PF1F2的面积=(1/2)*2c*|n|<=2b
即三角形PF1F2的最大面积为2b
则2b=2倍根号2,
b=根号2,
a=根号6,

椭圆的标准方程为
x^2/6+y^2/2=1

（2）设直线方程y=(根号3)/3*(x+3),
x=根号3*y-3
与椭圆联立，得2y^2-2根号3*y+1=0
得yA+yB=根号3
yA*yB=1/2

A(根号3*yA-3,yA),B(根号3*yB-3,yB),F1(-2,0)
向量F1A=((根号3*yA-1,yA),
向量F1B=(根号3*yB-1,yB),
则 向量F1A*向量F1B
=(根号3*yA-1)(根号3*yB-1)+yAyB
=4yAyB-根号3(yA+yB)+1
=2-3+1=0

即F1A垂直与F1B
即角AF1B为直角

即点F1在以线段AB为直径的圆上

Answer 2

几何法，双曲线第二定义法
设AF=4m，BF=m．过A，B分别做准线的垂线，垂足为A1,B1．
由双曲线定义得，|AA1|=5m/e．|BB1|=m/e．
过B做BD垂直于AA
1
垂足D．在△ABD中，∠ABD=30°，|AD|=(1/2)|AB|．
即5m/e-m/e=(1/2)5m
．解得e=8/5．