Question

高中数学数列问题求高手快速解答

已知函数f(x)=5－6/x ，数列{an}满足：a1=a ，an+1=f(an) , n∈N*已知函数f(x)=5－6/x ，数列{an}满足：a1=a ，an+1=f(an) , n∈N*1、 若对于n∈N* ，都有an+1=an成立，求实数a 的值。2、 若对于n∈N* ，都有an+1>an成立，求实数a 的取值范围。3、 请你构造一个无穷数列{bn} , 使其满足下列两个条件，并加以证明：① bn<bn+1 , n∈N*;② 当a 为{bn}中的任一项时，{an}中必有某一项的值为1.题中n, n+1, 1都是下标
要详细过程…谢谢啦

Answer 1

因为an+1=f(an)，所以a（n+1）=5-6/an （1）
第一小题，an+1=an成立，则5-6/an=an，（2）
又因为a1=a，则an=a，代入（2），得到，a=2或者3。
第二问，an+1>an，即有5-6/an>an,解决an<0,2<an<3。
假如我们想象a<0,则a2=5-6/a>5,则a3<a2,这种可能错误，故a>0
于是我们假设2<a<3，则这样求出刚好2<a2<3,于是似乎就进入了循环，可以使得后面的an+1>an都成立。
故2<a<3，接下去可以用数学归纳法证明，具体不写了。
第三问，这个可以看出，bn应该是和an刚好相反的那种，也就是说bn=5-6/b（n+1），这样有b(n+1)=6/(5-bn),而b1=1，这样的话，无任a=bn（n取大于0的整数），倒回去的话这样总有一次an=b1的。
而我们还需要证明的是bn<bn+1这个条件是否成立。按第二问的方法可以知道bn<bn+1要成立的话，则有bn<2,3<bn<5。你可以将b1<2代入，b1<b2<2,这样又进入bn<bn+1<2的循环了，因此可以知道b1=1满足bn<bn+1的条件。
故我们假设的bn为b(n+1)=6/(5-bn)，b1=1，这个数列满足两个条件的。

Answer 2

原函数单增f(a)=a,a为不动点,迭代f((((a)))...)=a.解方程f(b)>b,则以b为首项迭代f((b))>f(b),即an+1>an,解方程f(b)<b,以b为首项迭代f((b))<f(b),即an+1<an.具体可参考不动点理论和数列递推求通项