用函数极限的定义证明
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对任意的E>0,分左右极限进行讨论
右极限:当x从1的右边趋近1时,由对数函数的单调性可知恒有lnx>0
取δ1=e^E-1>0,则当1<x<1+δ1时
|lnx-0|=lnx<ln(1+δ1)=ln(e^E)=E
∴lim(x→1+)lnx=0
左极限:当x从1的左边趋近1时,由对数函数的单调性可知恒有lnx<0
取δ2=1-e^(-E)>0,则当1-δ2<x<1时
|lnx-0|=-lnx<-ln(1-δ2)=-ln(e^(-E))=E
∴lim(x→1-)lnx=0
左右极限存在且相等,∴lim(x→1)lnx=0
右极限:当x从1的右边趋近1时,由对数函数的单调性可知恒有lnx>0
取δ1=e^E-1>0,则当1<x<1+δ1时
|lnx-0|=lnx<ln(1+δ1)=ln(e^E)=E
∴lim(x→1+)lnx=0
左极限:当x从1的左边趋近1时,由对数函数的单调性可知恒有lnx<0
取δ2=1-e^(-E)>0,则当1-δ2<x<1时
|lnx-0|=-lnx<-ln(1-δ2)=-ln(e^(-E))=E
∴lim(x→1-)lnx=0
左右极限存在且相等,∴lim(x→1)lnx=0
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泰科博思
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