Question

在均值不等式中,为什么积定值的和有最小值？

Answer 1

以三元不等式为例：
定理1：如果a,b,c∈R，那么 a³+b³+c³ ≥3abc，当且仅当a=b=c时，等号成立。
定理2：如果a,b,c∈R+,那么(a+b+c)/3≥³√(abc),当且仅当a=b=c时，等号成立。

结论：设x,y,z都是正数，则有
(1)若xyz=S(定值)，则当x=y=z时，x+y+z有最小值3³√S。
(2)若x+y+z=P(定值)，则当x=y=z时，xyz有最大值P³/27。
记忆：“一正、二定、三相等”

所以：积定值,和有最小值；和定值,积有最大值。