求下列微分方程的通解
这就是原方程的隐性通解。
解：先求齐次方程 (x-1)(dy/dx)=y的通解：
分离变量得 dy/y=dx/(x-1)；积分之得lny=ln(x-1)+lnc₁=ln[c₁(x-1)]
故齐次方程的通解为：y=c₁(x-1)；将c₁换成x得函数u，则y=u(x-1).........①
对①取导数得：y'=u+(x-1)u'..........②
将①②代入原式得：(x-1)[u+(x-1)u']=u(x-1)+2(x-1)³
化简得：(x-1)²u'=2(x-1)³，即有u'=2(x-1)；故du=2(x-1)dx；
∴u=2∫(x-1)d(x-1)=(x-1)²+c；代入①式即得原方程的通解为：
y=[(x-1)²+c](x-1)=(x-1)³+c(x-1).
(6). (x²+1)y'+2xy=3x²
解：先求齐次方程 (x²+1)y'+2xy=0的通解：
分离变量得 dy/y=-[2x/(1+x²)]dx
积分之得： lny=-∫[2x/(1+x²)]dx=-∫d(1+x²)/(1+x²)=-ln(1+x²)+lnc₁=ln[c₁/(1+x²)];
于是得齐次方程的通解为 y=c₁/(1+x²);
将c₁换成x的函数u，得 y=u/(1+x²)..........①
对①取导数得：y'=[(1+x²)u'-2xu]/(1+x²)²=[u'/(1+x²)]-2xu/(1+x²)².........②
将①②代入原式得：u'-[2xu/(1+x²)]+2xu/(1+x²)=3x²
化简得：u'=3x²；故du=3x²dx；∴u=x³+c；代入①式即得原方程的通解为：
y=(x³+c)/(1+x²);
解：先求齐次方程xy'+y=0的通解：分离变量得：dy/y=-dx/x；
积分之得：lny=-lnx+lnc=ln(c₁/x)；故齐次方程的通解为y=c₁/x;
将c₁换成x的函数u，得y=u/x.........①
对①求导得：y'=(xu'-u)/x².........②
将①②代入原式得：(xu'-u)/x+(u/x)=e^x；化简得u'=e^x，故u=∫e^xdx=e^x+c........③
将③代入①式即得原方程的通解为y=(e^x+c)/x;
将初始条件代入得：e=e+c，故c=0；于是得特解为：y=(e^x)/x;
