Question

关于多元函数微积分的问题

关于多元函数微积分的问题怎么看出图中的题目需要用到隐函数求导公式
（如何看出题目想要考察的是求隐函数的偏导数）





Answer 1

首先看问题，说明z是关于x和y的函数，由于方程中z不能单独放在等号的一侧，说明方程是隐函数。隐函数求导/偏导时，只需保留导数/偏导数式子，最后移项就行。对x求偏导时，y看做常数，对y求偏导时，x看做常数。

Answer 2

上面是用隐函数的求导公式求导，比较简便。其优点是可省去一些代数变换的工作。

作为对比，下面再用直接求导的方式作一次：x/z=ln(z/y)，即x=z(lnz-lny)........①;

①式两边对x求导得：1=(∂z/∂x)(lnz-lny)+z[(∂z/∂x)/z]；1=(∂z/∂x)(lnz-lny+1)

∴∂z/∂x=1/(lnz-lny+1)=1/[ln(z/y)+1]=1/[(x/z)+1]=z/(x+z)；

①式两边对y求导得：0=(∂z/∂y)(lnz-lny)+z[(∂z/∂y)/z-(1/y)]=(∂z/∂y)(lnz-lny)+(∂z/∂y)-(z/y)

=(∂z/∂y)[ln(z/y)+1]-(z/y)=(∂z/∂y)[(x/z)+1]-(z/y)；∴∂z/∂y=(z/y)/[(x/z)+1]=z²/[y(x+z)];

∴(∂z/∂x)+(∂z/∂y)=z/(x+z)+z²/[y(x+z)]=z(y+x)/[y(x+z)];