求圆盘x^2+y^2≤a^2绕x=-b（b＞a＞0）旋转所成旋转体体积
圆盘x^2+y^2≤a^2绕x=-b（b＞a＞0）旋转所成旋转体体积为2b*a^2*π^2。
解：因为由x^2+y^2=a^2，可得，
x=±√(a^2-y^2)。
又x^2+y^2≤a^2，那么可得-a≤x≤a，-a≤y≤a。
那么根据定积分求旋转体体积公式，以y为积分变量，可得体积V为，
V=∫(-1,1)(π*(√(a^2-y^2)+b)^2-π*(-√(a^2-y^2)+b)^2)dy
=4bπ∫(-1,1)√(a^2-y^2)dy
令y=asint，由于-a≤y≤a，那么-π/2≤t≤π/2，那么
V=4bπ∫(-1,1)√(a^2-y^2)dy
=4bπ∫(-π/2,π/2)a*costd(a*sint)
=2b*a^2*π∫(-π/2,π/2)(cos2t+1)dt
=2b*a^2*π∫(-π/2,π/2)1dt+b*a^2*π∫(-π/2,π/2)(cos2t)d(2t)
=2b*a^2*π(π/2-(-π/2))+b*a^2*π*(sinπ-sin(-π))
=2b*a^2*π^2+0
=2b*a^2*π^2
扩展资料：
1、定积分∫(a,b)f(x)dx的性质
（1）当a=b时，∫(a,b)f(x)dx=0。
（2）当a>b时，∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx。
（3）常数可以提到积分号前。即∫(a,b)K*f(x)dx=K*∫(a,b)f(x)dx。
（4）如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有，
∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx
2、利用定积分求旋转体的体积
（1）找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数。
（2）分清端点。
（3）确定几何体的构造。
（4）利用定积分进行体积计算。
3、定积分的应用
（1）解决求曲边图形的面积问题
（2）求变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。
（3）求变力做功
某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。
（4）数列求和的极限
参考资料来源：百度百科-定积分
x=-√(a²-y²)，x=√(a²-y²)，
由于 b>a>0，所以所求体积为
V=∫(-a，a) π{[b+√(a²-y²)]²-[b-√(a²-y²)]} dy
=4πb∫(-a，a) √(a²-y²) dy
=8πb∫(0，a) √(a²-y²) dy
作变量代换 y=asinu，dy=acosudu，
V=8πa²b∫(0，π/2) cos²u du
=8πa²b*π/4=2π²a²b。
第四行，后面的中括号少了平方。下一行是用平方差公式分解。
先画草图，再求积分，答案如图所示
