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解：分享一种解法。由题设条件，可知是关于hn(x)的一阶常系数微分方程。
令h'n(x)=hn(x)，∴dhn(x)/hn(x)=dx。两边积分，有ln丨hn(x)丨=x+c1，∴其通解hn(x)=Ce^x。
∴设原方程的通解为hn(x)=v(x)e^x，代入题设条件、经整理，有v'(x)=x^(n-1)。∴v(x)=(1/n)x^n+c。∴hn(x)=[(1/n)x^n+c]e^x。
又，hn(1)=e/n，∴c=0。∴hn(x)=[(1/n)x^n]e^x。∴∑hn(x)=(e^x)∑[(1/n)x^n]。
当x∈[-1,1)时，∑[(1/n)x^n]=∫(0,x)[∑x^(n-1)]dx=∫(0,x)dx/(1-x)=-ln(1-x)。
∴∑hn(x)=-(e^x)ln(1-x)。其中，x∈[-1,1)。
供参考。
令h'n(x)=hn(x)，∴dhn(x)/hn(x)=dx。两边积分，有ln丨hn(x)丨=x+c1，∴其通解hn(x)=Ce^x。
∴设原方程的通解为hn(x)=v(x)e^x，代入题设条件、经整理，有v'(x)=x^(n-1)。∴v(x)=(1/n)x^n+c。∴hn(x)=[(1/n)x^n+c]e^x。
又，hn(1)=e/n，∴c=0。∴hn(x)=[(1/n)x^n]e^x。∴∑hn(x)=(e^x)∑[(1/n)x^n]。
当x∈[-1,1)时，∑[(1/n)x^n]=∫(0,x)[∑x^(n-1)]dx=∫(0,x)dx/(1-x)=-ln(1-x)。
∴∑hn(x)=-(e^x)ln(1-x)。其中，x∈[-1,1)。
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2025-04-08 广告
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