Question

一个函数一点处的一阶导数为0，二阶导数小于0，为什么不能确定这一点的某邻域是凸曲线？

即下图题目中，(A）选项为什么错了？

Answer 1

函数某点处一阶导为0，二阶导小于0，不是判断曲线凹凸的条件，是该点处函数取得极大值的充分条件。而该点的某邻域是凸曲线的充分条件为二阶导为0，三阶导小于0。

可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。

如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。

扩展资料：

设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2，那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2，那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数，同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。

参考资料来源：百度百科-导数

Answer 2

因为二阶导不知道连不连续啊，你知道一个点二阶导大于零，你能根据二阶导连续性推出这个点附近也大于零，但是这是有二阶导连续为前提的。如果题中加一个三阶导存在，那么A就对了。

Answer 3

早上好，函数某点处一阶导为0，二阶导小于0，是该点处函数取得极大值的充分条件。而该点的某邻域是凸曲线的充分条件为二阶导为0，三阶导小于0。
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追问

二阶导数为0，三阶导数小于0说明这一点是拐点才对吧，说明这一点左邻域是凹曲线，右邻域是凸曲线。

追答

对啊，不好意思是我记错了。这道题没有解析吗？怎么感觉A和C都对

追问

解析就就解释了C为什么对，没解释A为什么错

Answer 4

我本来也困惑的，既然是极大值的判定条件，那么说明在极大值左右某邻域内的所有点都比这个极大值小，这么一想自然是凸函数无疑了，但是，细想，这个邻域有多大？题中又没有说这个邻域无限逼近这个极大值点，所以我就想这个邻域如果足够大，包含了凹凸性，那就不能说明这个邻域是凸函数或者凹函数了。例如余弦函数，在0点一阶导函数等于0，二阶导函数小于0，如果邻域选在负派与正派，那就是凸函数，如果邻域选在负二派与正二派呢？那就不能说这个邻域是凸函数了。

Answer 5

好像是因为
一点的二阶导数的正负不能判断凹凸性
就像一点的一阶导数不能判断增减性。