Question

怎么证明sinx-siny的绝对值＜x-y的绝对值，x,y属于实数？

Answer 1

题中x应不等于y，否则不等式就不成立了。
由于不等式涉及到sinx-siny和x-y，很容易想到利用和差化积公式：
|sinx-siny|=|2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]|≤2|sin[(x-y)/2]|<2|(x-y)/2|=|x-y|。
这里最后一个不等式利用了：
当u不等于0时，|sinu|<|u|。
这个不等式证明如下：
当|u|>1时显然成立。
当0<u≤1时，sinu>0，|sinu|=sinu。令f(u)=u-sinu，则f'(u)=1-cosu。由于0<u≤1，cosu<1，因此f'(u)>0，f(u)单调递增，有f(u)>f(0)=0，即|sinu|=sinu<u=|u|。
当-1≤u<0时，0<-u≤1，有|sinu|=|sin(-u)|<|-u|=|u|。
因此只要u不等于0就有|sinu|<|u|。