正定矩阵一定是实对称矩阵吗

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高粉答主

2019-05-07 · 说的都是干货,快来关注
知道大有可为答主
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不一定是对称的。

正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵(共轭对称)。

因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内(实数域上是对称矩阵)。

如果只是要求矩阵M有(x^T)Mx>0,那么任何矩阵M,只要其满足A=(M+M^T)/2,且(x^T)Ax>0,即可。例如,M=[1 -1;1 1] ,A=[1 0;0 1]。但如果M不是厄米特矩阵,一般不讨论他的正定性。

例如:

A=[1 1;-1,1]

这个矩阵满足对于任意实非零向量向量x=(x1,x2),有x^TAx>0,因此是正定的。

如果一个矩阵A是正定的,那么对称矩阵B=(A+A^T)/2也是正定的,这是判定一个实系数矩阵是否为正定矩阵的充要条件。

对于任意对称矩阵B,我们可以对其进行卡氏分解。(请自行证明)

对于复系数矩阵,我们有B=(A+A*)/2为正定矩阵。

扩展资料

正定矩阵有以下性质:

(1)正定矩阵的行列式恒为正;

(2)实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同;

(3)若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵;

(4)两个正定矩阵的和是正定矩阵;

(5)正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

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Dilraba学长
高粉答主

2019-05-29 · 听从你心 爱你所爱 无问西东
Dilraba学长
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不一定是对称的。

正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵(共轭对称)。

因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内(实数域上是对称矩阵)。

广义定义:设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT 表示z的转置,就称M为正定矩阵。

例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)

扩展资料

正定矩阵有以下性质:

(1)正定矩阵的行列式恒为正;

(2)实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同;

(3)若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵;

(4)两个正定矩阵的和是正定矩阵;

(5)正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

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百度网友e92a5e3
2019-09-19
知道答主
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同学,
正定矩阵A有一个性质是存在可逆矩阵使得A=D^(T)*D
所以有A^(T)=A=D^(T)*D
正定矩阵一定是实对称矩阵
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百度网友5ced475
2018-01-07 · TA获得超过658个赞
知道小有建树答主
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对的,在考研f范围是这个样子的。。
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