Question

一道高联几何题

一道高联几何，大神帮帮忙：已知圆o为锐角三角形abc的外接圆，圆o1与圆o内切于点a，且与边bc切于点d，设三角形abc的内心为i，三角形ibc的外接圆圆o2于圆o1交于点e和f，证明（1）a，d，o2三点共线（2）o1，e，o2，f四点共圆

Answer 1

答：这道题的难度不是很大，只是证明起来有些麻烦，只要概念清楚就可以解出来。

证明：见图黑色线为原题，彩色线都是辅助线。圆O1交AC于M，交AB于N。

先证明O2在圆O上。连结OO2，假设交圆O于P，OO2垂直平分BC，弧BP=弧CP；连结AP，则AP过内心I；连结BP、CP、BI、CI；则有∠CAP=BAP（等弧上的圆周角相等）=BCP（同弧圆周角）=CBP；因为AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC和∠ACB；∠CIP=∠CAP+∠ACI(外角定理)=∠BCI+∠BCP=∠ICP;所以△PCI是等腰三角形，同理可以证明PBI也是等腰三角形；所以，PC=PI=PB;根据不在同一直线上的三点确定一个圆，P是△BCI的外接圆圆心，应为O2是△BCI外接圆的圆心，所以点P与O2重合，O2在圆O上。

(1)连结AD、DM、DN、O1M、O1N、O1D、MN，O1D⊥MN，所以∠MO1D=∠NO1D(垂径定理）=2∠NAD(同弧上的圆心角等于圆周角的2倍）=2∠MAD，所以，AD在∠BAC的平分线上；所以A、D、O2三点共线。

(2)作射线O1E、O1F、O2E、O2F；因为，射线O1E，O1F与圆O2都只有一个交点，射线O2E、O2F与圆O1也只有一个交点，因此，O1E和O1F分别与圆O2相切，O2E和O2F分别与圆O1相切；同时O1E和O1F、O2E和O2F分别是圆O1和圆O2的半径，所以O1E⊥O2E，O1F⊥O2F；∠O1EO2=∠O1FO2=90D,所以∠O1EO2+∠O1FO2=180D;因此，O1，E，O2，F四点共圆（对角互补的四边形共圆）。证毕。

追问

鸡爪定理逆定理么

Answer 2

酒吧买醉，第一次见面她就和他上演了少儿不宜

追问

😈