Question

大一高数，常系数非齐次线性微分方程，求解

Answer 1

先求y''+y=0的通解，其特征方程为
r²+r=0，得r=±i
故通解为y=C1 cosx+C2 sinx
因为i是特征根，故设y''+y==2cosx的特解为
y*=x(a cosx+b sinx)
则y*'=a cosx+b sinx+x(-a sinx+b cosx)
=(a+bx)cosx+(b-ax)sinx
y*''=bcosx-(a+bx)sinx-asinx+(b-ax)cosx
=(2b-ax)cosx-(2a+bx)sinx
代入原方程得
2b cosx-2a sinx=2cosx
得a=0，b=1
故y*=x sinx
故原方程的通解为y=C1 cosx+C2 sinx +xsinx

Answer 2

y''+y=0的特征方程是k^2+1=,k=土i,
所以它的通解是y=c1cosx+c2sinx,
设y=x(acosx+bsinx)是y''+y=2cosx①的解，则
y'=acosx+bsinx+x(-asinx+bcosx),

y''=-2asinx+2bcosx+x(-acosx-bsinx),
都代入①，得-2asinx+2bcosx=2cosx,
所以a=0,b=1,
所以①的通解是y=c1cosx+(c2+x)sinx.rtvn

Answer 3

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