Question

高数，求解过程

这道经典题型，求解

Answer 1

【注：原题的积分下限-y似乎不对，因为它对积分域D不起作用，应改为0；】

【积分域D，是一个圆心在(0，1),半径R=1的右半园。直线y=-x与此域没关系。】

如果下限是y，则变换如下：

(20).已知y=(x+1)e^x是一阶线性微分方程y'+2y=f(x)的解，求二阶线性方程y''+3y'+2y=f(x)

的通解。

解：对y=(x+1)e^x求导的：y'=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x；

代入一阶线性方程得：f(x)=(x+2)e^x+2(x+1)e^x=(3x+4)e^x；

故二阶线性方程为：y''+3y'+2y=(3x+4)e^x; 解此方程：

齐次方程y''+3y'+2y=0的特征方程r²+3r+2=(r+1)(r+2)=0的根r₁=-1，r₂=-2；

故齐次方程的通解为：y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x)；

因此可设其特解为：y*=(ax+b)e^x；  y'=ae^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x;

y''=ae^x+(ax+a+b)e^x=(ax+2a+b)e^x；代入原方程，并消去e^x，得：

(ax+2a+b)+3(ax+a+b)+2(ax+b)=6ax+5a+6b=3x+4；

故得6a=3,即a=1/2；5a+6b=(5/2)+6b=4，∴b=1/4；即特解y*=[(1/2)x+(1/4)]e^x;

故二阶线性方程y''+3y'+2y=f(x)的通解为：y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x)+[(1/2)x+(1/4)]e^x;