Question

求解下根号1+sin2x的定积分

为什么不能直接积出来呢 哪里出错了？

Answer 1

解：∫(0,π)√(1+sin2x)dx=∫(0,π)√(cos^2x+sin^2x+2sinxcosx)dx=∫(0,π)√(cosx+sinx)^2dx

=∫(0,3π/4)(cosx+sinx)dx-∫(3π/4,π)(cosx+sinx)dx

=[sinx-cosx](0,3π/4)-[sinx-cosx](3π/4,π)

=[(√2/2+√2/2)-(0-1)]-[(0+1)-(√2/2+√2/2)]=√2+1-(1-√2)=2√2. 

见下图：

不定积分的公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

解：∫(0,π)√(1+sin2x)dx=∫(0,π)√(cos^2x+sin^2x+2sinxcosx)dx=∫(0,π)√(cosx+sinx)^2dx

=∫(0,3π/4)(cosx+sinx)dx-∫(3π/4,π)(cosx+sinx)dx

=[sinx-cosx](0,3π/4)-[sinx-cosx](3π/4,π)

=[(√2/2+√2/2)-(0-1)]-[(0+1)-(√2/2+√2/2)]=√2+1-(1-√2)=2√2. 

见下图：

Answer 3

应该是|sinx+cosx|，

平方后开根号都要加绝对值

Answer 4

这里问题在于 在(0，π)的范围内，sinx+cosx＝√2sin(x+π/4)并非恒大于零，根号不能直接去，需要对(0，π)拆分。

追问

请问一下为什么答案没有分段 是在开根号 加了个绝对值