Question

第五题的2.3.4怎么写，，高数极限题

Answer 1

（2）lim(n->∞) (3n+1)/(2n+1)=3/2
证明：对∀ε>0，总存在正整数N>1/ε，使对所有n>N，有
|(3n+1)/(2n+1)-3/2|
=|(6n+2-6n-3)/(4n+2)|
=1/(4n+2)
<1/n
<1/N
<1/(1/ε)
=ε
证毕
（3）lim(n->∞) √(n^2+a^2)/n=1
证明：对∀ε>0，总存在正整数N>(a^2)/ε，使对所有n>N，有
|√(n^2+a^2)/n-1|
=[√(n^2+a^2)-n]/n
=(a^2)/n[√(n^2+a^2)+n]
<(a^2)/n
<(a^2)/N
<(a^2)/[(a^2)/ε]
=ε
证毕
（4）lim(n->∞) 0.999...9=1，其中9有n个
证明：对∀ε>0，总存在正整数N>log(1/ε)，使对所有n>N，有
|0.999...9-1|
=0.000...01，其中0有n个
=1/(10^n)
<1/(10^N)

<1/[10^log(1/ε)]
=1/(1/ε)
=ε
证毕