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添加平面∑1:z=h (x^2+y^2≤h^2),取上侧,则∑与∑1组成一个封闭曲面,方向是外侧,三个偏导数都是0,所以由高斯公式,积分是0。
所以,
∫∫(∑)(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
=-∫∫(∑1)(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
=-∫∫(∑1)(x^2-y)dxdy
=-∫∫(D)(x^2-y)dxdy ∑1在xy面上的投影区域D:x^2+y^2≤h^2
=-∫∫(D) x^2 dxdy
=-1/2 ∫∫(D) (x^2+y^2)dxdy
=-1/2 ∫0→2π dθ ∫0→h ρ^3 dρ=-πh^4/4
所以,
∫∫(∑)(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
=-∫∫(∑1)(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
=-∫∫(∑1)(x^2-y)dxdy
=-∫∫(D)(x^2-y)dxdy ∑1在xy面上的投影区域D:x^2+y^2≤h^2
=-∫∫(D) x^2 dxdy
=-1/2 ∫∫(D) (x^2+y^2)dxdy
=-1/2 ∫0→2π dθ ∫0→h ρ^3 dρ=-πh^4/4
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