Question

已知a、b均为正数，且a+b=1，求 8/a^2+27/b^2的最值

已知a、b均为正数，且a+b=1，求 8/a^2+27/b^2的最值？

Answer 1

已知a、b>0，且a+b=1。
那么由a+b≥2√ab，
可得2√ab≤1，
则ab≤1/4，即有1/ab≥4。
8/a²+27/b²
=(2√2/a)²+(3√3/b)²
≥2×(2√2/a)(3√3/b)
=12√6/ab
≥4×12√6=48√6。

Answer 2

解，m=(a+b)^2=a^12+b^2+2ab=1，设a/b=x
则原式t=8m/a^2+27m/b^2
=35+8x^2+27x^-2+16x+54x^-1
f(x)=t，则f′(x)=16x+16-54x^-3-54x^-2
=16(x+1)-54x^-3(1+x)
=(x+1)(16-54x^-3)=0
则x=3/2，
则t最小=f(3/2)=35十90=125

Answer 3

8/a^2+27/b^2+k(a+b-1)待定系数，用均值不等式，求出k=250。
8/a^2+27/b^2+k(a+b-1)
=(8/a^2+ka/2+ka/2)+(27/b^2+kb/2+kb/2)-k
a+b+c>=3*(abc)^(1/3)
等式成立条件：8/a^2=ka/2,27/b^2=kb/2,a+b=1
解得k=250,a=2/5,b=3/5
当a、b均为正数，且a+b=1，
min(8/a^2+27/b^2)=125

Answer 4