Question

一道求定积分的题，如图所示，求答案的解析，谢谢！

有以下几个疑问:
关于图2
1 .中的第二行打问号的等式左边为什写成右边那个形式？主要是不明白等号右边的第二个积分是什么意思。
2 .上面第二行的被积函数f（t） 为什么到了第三行就变成了t？
关于图3
为什么在不同的区间，f（x）分段表达式是这么写呢 ？
求好心人解答，救救孩子吧！！😭





Answer 1

从上往下说吧，sinx,一个周期内积分是0，看图像也比较明显正负两个面积抵消了
然后第二个，因为f（x）有两个表达式，一个只在0到π上是x，另一个就是整个实数上满足f（x）=f（x-π）+sinx，你就需要用这个x-π把整个积分从π到3π降低到0到π，
所以第二个问号那前面是0到π所以f（t）=t后面需要继续降上下限就用到了公式，
再将积分拆开， ∫（π，2π）f（t-π）+sint dt就变成了 ∫（π，2π）sint dt+∫（π，2π）f（t-π）dt，
∫（π，2π）f（t-π）dt这个式子很熟悉吧，再用换元u=t-π，跟着上下限就变成了0到π，式子就变成了∫（0，π）f（u）du，因为0到π上f（x）=x，所以积分就变成了∫（0，π）udu=∫（0，π）xdx（其实和字母无关）加上前面的就是答案了，望采纳。

追问

您说的大部分我都理解了，只是有一点还不明白:图3，两个不同区间上，f（x）表达式为什么不同呢？

您好像忘了解释这一点哈😄

追答

首先要明确，这个函数就是两个基本的式子，f（x）分别在0到π上是x，在实数上是f(x-π）+sinx
x在π到2π上时候，不属于f（x）=x情况，所以等于f（x-π）+sinx，此时f（x-π）中自变量（x-π）∈（0，π）所以，f（x-π）=x-π……整体替换，你可以理解成t，所以在（π，2π）上f（x）=x-π+sinx，这里要注意整体替换的概念，

再来看（2π，3π），还是不属于f（x）=x情况，
故等于f（x-π）+sinx，此时，（x-π）∈（π，2π），记为1*
那么x-π即f（x）=x-π+sinx中的x，这里方便理解，姑且令
f（t）=t-π+sint，t∈（π，2π），记为2*
其实令哪个都行，我感觉这样写得少一点- -那么x-π就是t了
带入此时f(x)=（x-π）-π+sinx+sin（x-π），注意这里的两个sinx分别是1*里的sinx和2*里面的sint，这里t=x-π，
化简f（x）=x-2π+sinx-sinx，，，sin（x-π）=-sinx
所以f（x）=x-2π x属于（2π，3π）
注一下，我这都用的开区间，没用【】，这个题没影响，如果是大题你可以注意一下，这种选择填空不阻碍理解，然后看着多实际上推到起来很快的只要熟悉了的话。
再补充一下吧，一般这种题还可以用周期性和奇偶性，这道题就可以用周期性，
f（x）=f（x-π）+sinx
所以：f（x+π）=f（x）-sinx 即：f（x）=f（x+π）+sinx
所以：f（x-π）=f（x+π） 即：f（x）=f（x+2π） =f（x-2π），f（x）是以2π为周期的周期函数
那么2π到3π的公式可以直接得到f（x）=f（x-2π）=x-2π，
这道题由于π到2π是夹在中间的没有办法直接看，就用他给的实数集上的公式推一下就好了，
希望对你有用。

Answer 2

有滴，点我的头像，，，