Question

1/sinx的四次方+cosx的四次方求不定积分

Answer 1

∫ dx/[ (sinx)^4 + (cosx)^4 ]

分子分母同时除以 (cosx)^4

=∫ (secx)^4/[ 1+(tanx)^4  ] dx

=∫ (secx)^2/[ 1+(tanx)^4  ] dtanx

=∫ [ 1+ (tanx)^2] /[ 1+(tanx)^4  ] dtanx

u=tanx

=∫ ( 1+ u^2) /( 1+u^4 )   du

分子分母同时除以 u^2

=∫ ( 1+ 1/u^2) /(u^2+ 1/u^2 )   du

=∫ ( 1+ 1/u^2) /[ (u -1/u)^2 +2 ]  du

d( u- 1/u) =  ( 1+ 1/u^2) du

=∫ d( u- 1/u) /[ (u -1/u)^2 +2 ]  

=(1/√2 )∫ d[( u- 1/u)/√2] /{ 1 + [(u -1/u)/√2]^2  }  

=(1/√2 )arctan[( u-1/u)/√2] + C

=(1/√2 )arctan[( tanx -1/tanx)/√2] + C

Answer 2

追问

老师你好，请问这种类型的题有什么技巧吗