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高分求解高三数学题!在线

Answer 1

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【题目】来源: 作业帮

已知函数f(x)=|2x+a|+2a，a∈R.

(Ⅰ)若对于任意x∈R,f(x)都满足f(x)=f(3−x)，求a的值；

(Ⅱ)若存在x∈R,使得f(x)⩽−|2x−1|+a成立，求实数a的取值范围。

【考点】

绝对值三角不等式绝对值不等式的解法

【解析】

（Ⅰ）求出函数的对称轴，得到关于a的方程，解出即可；
（Ⅱ）等价于|2x+a|+|2x-1|+a≤0，设g（x）=|2x+a|+|2x-1|+a，求出g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

【解答】

(Ⅰ)因为f(x)=f(3−x),x∈R,所以f(x)的图象关于x=32对称。

又f(x)=2|x+a2|+2a的图象关于x=−a2对称,所以−a2=32，所以a=−3.

(Ⅱ)f(x)⩽−|2x−1|+a等价于|2x+a|+|2x−1|+a⩽0.

设g(x)=|2x+a|+|2x−1|+a，

则g(x)min=|(2x+a)−(2x−1)|+a=|a+1|+a.

由题意g(x)min⩽0，即|a+1|+a⩽0.

当a⩾−1时,a+1+a⩽0,a⩽−12,所以−1⩽a⩽−12；

当a<−1时,−(a+1)+a⩽0，−1⩽0，所以a<−1，

综上a⩽−12.

Answer 2

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