Question

关于微分方程的解

今天学习到微分方程，有一个题目是验证所给出的解是否为微分方程的通解。发现对给出的解进行了两次求导才得出微分方程，请问这样的解是否为该方程的通解。

Answer 1

二次非齐次微分方程的一般解法一般式是这样的ayapos;apos;+byapos;+cy=f(x) 第一步：求特征根令ar2+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)2=-β2）第二步：通解 1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x) 2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x) 3、若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx) 第三步：特解 f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x2+2x，则设Q（x）为ax2+bx+c，abc都是待定系数) 1、若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx） 2、若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx） 3、若λ是二重根 k=2 y*=x2*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ） f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx 1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx) 2、若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）第四步：解特解系数把特解的y*apos;apos;,y*apos;,y*都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。最后结果就是y=通解+特解。通解的系数C1，C2是任意常数。拓展资料： 微分方程 微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。 高数常用微分表 唯一性 存在定一微 分程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。