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解答
(1)由题意知圆C的圆心(a,b)在直线y=x+1上,所以b=a+1,①
因为圆心C到直线x+y−4=0的距离为1−(2√2)2−−−−−−−−−−⎷=2√2,
所以|a+b−4|2√=2√2,化简得a+b−4=1或a+b−4=−1,②
联立①②,解得{a=2b=3或{a=1b=2(舍),
所以圆C的方程为(x−2)2+(y−3)2=1.…(4分)
(2)假设存在直线l,使得OM−→−⋅ON−→−=6(O为坐标原点),
设M(x1,y1),N(x2,y2),
将y=kx+2代入方程(x−2)2+(y−3)2=1,得(x−2)2+(kx−1)2=1,
即(1+k2)x2−(2k+4)x+4=0,③
由△=(2k+4)2−16(1+k2)>0得,
−4(3k2−4k)>0,解得0<k<43,
且x1+x2=2k+41+k2,x1⋅x2=41+k2.…(7分)
因为OM−→−⋅ON−→−=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)
=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4,
所以(1+k2)×41+k2+2k×2k+41+k2+4=6,
即3k2+4k+1=0,解得k=−1或k=−13,…(10分)
此时③式中△<0,没有实根,与直线l与C交于M、N两点相矛盾,
所以不存在直线l,使得OM−→−⋅ON−→−=6.…(12分)
(1)由题意知圆C的圆心(a,b)在直线y=x+1上,所以b=a+1,①
因为圆心C到直线x+y−4=0的距离为1−(2√2)2−−−−−−−−−−⎷=2√2,
所以|a+b−4|2√=2√2,化简得a+b−4=1或a+b−4=−1,②
联立①②,解得{a=2b=3或{a=1b=2(舍),
所以圆C的方程为(x−2)2+(y−3)2=1.…(4分)
(2)假设存在直线l,使得OM−→−⋅ON−→−=6(O为坐标原点),
设M(x1,y1),N(x2,y2),
将y=kx+2代入方程(x−2)2+(y−3)2=1,得(x−2)2+(kx−1)2=1,
即(1+k2)x2−(2k+4)x+4=0,③
由△=(2k+4)2−16(1+k2)>0得,
−4(3k2−4k)>0,解得0<k<43,
且x1+x2=2k+41+k2,x1⋅x2=41+k2.…(7分)
因为OM−→−⋅ON−→−=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)
=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4,
所以(1+k2)×41+k2+2k×2k+41+k2+4=6,
即3k2+4k+1=0,解得k=−1或k=−13,…(10分)
此时③式中△<0,没有实根,与直线l与C交于M、N两点相矛盾,
所以不存在直线l,使得OM−→−⋅ON−→−=6.…(12分)
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不会做,须请教老师指导
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